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\documentclass[journal]{IEEEtran}
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\usepackage{etoolbox}
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\usepackage{orcidlink}
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\usepackage{bookmark}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{booktabs}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{graphicx}
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\graphicspath{{figs/}}
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\hypersetup{hidelinks}
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% 补充材料内的公式、图、表统一加 S 前缀独立编号，避免与正文编号混淆。
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% 正文引用本材料时写作 "see Section S-I of the supplementary material"。
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\renewcommand{\theequation}{S\arabic{equation}}
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\renewcommand{\thefigure}{S\arabic{figure}}
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\renewcommand{\thetable}{S\arabic{table}}
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\renewcommand{\thesection}{S-\Roman{section}}
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\begin{document}
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\title{Supplementary Material for ``Spatially Decoupled Inbound and Outbound
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Path Planning for Open-Pit Mine Loading Areas via Integrated Guidance Fields
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and Joint Optimization''}
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\author{
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Chuang Wang\orcidlink{0009-0003-5795-2504},
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Peng Chen\orcidlink{0000-0002-8076-8989},~\IEEEmembership{Member,~IEEE,}
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Yiming Li\orcidlink{0009-0007-7859-4987},
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Han Li\orcidlink{0000-0001-5136-7396},
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Guizhen Yu\orcidlink{0000-0001-8374-7422}
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}
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\maketitle
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% 本补充材料收录正文因篇幅所限而未展开的推导过程、参数标定依据与实现细节。
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% 正文中仅保留结论性结果（各上界的表达式、标定条件、最终约束形式），其来由见本材料对应各节。
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% 组织如下：S-I 给出引导场取值上界的推导与场强系数标定依据；S-II 说明栅格场的连续化表示；
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% S-III 论证联立求解相对交替优化的取舍；S-IV 给出凸走廊构造的完整推导；
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% S-V 给出曲率约束二阶差分离散化的推导与误差量级；S-VI 汇总实现参数与补充实验结果。
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\section{Bounds of the Guidance Field and Gain Calibration}
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\label{sup:field_bounds}
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% 【来源：正文 III-C，原 main.tex 510--533、566--577】
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% 正文保留 U_g^max、U_e^max 的表达式与 (eq:alpha_dominance) 的标定条件，此处给出其推导。
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\subsection{Upper Bound of the Guidance-Line Field}
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% 由有限支撑核的非负性，各分场下界平凡地为 0，即势源影响半径之外场值恒为零。
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% 对于上界，考察一条折线穿过查询点的 rho 邻域的情形。假定 rho_S 不超过引导线的最小曲率半径
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% （该曲率上界已由正文中线平滑的曲率约束保证），从而折线至多穿越该邻域一次、不会在邻域内盘绕
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% 而使支撑域内弧长超出弦长；此时落在支撑域内的折线段总长不超过其穿越邻域的路径长度，
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% 当折线沿直径方向直线穿过时取到最大值。对采用弧长权重的引导线场，其上界即为核函数沿该直径的积分：
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% 以查询点在折线上的投影点为弧长原点，此时 d = |t|、t 属于 [-rho_g, rho_g]，
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% 代入核函数积分即得引导线场的上界：
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\begin{equation}
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0 \le U_\text{g} \le
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\alpha_\text{g} \int_{-\rho_\text{g}}^{\rho_\text{g}}
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\left( 1 - \frac{|t|}{\rho_\text{g}} \right)^{m_\text{g}} \mathrm{d}t
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= \frac{2\alpha_\text{g} \rho_\text{g}}{m_\text{g} + 1}
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\triangleq U_\text{g}^\text{max} .
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\label{eq:sup_bound_guide}
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\end{equation}
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% 该式即正文 \eqref{eq:bound_guide}。需注意其成立依赖前述"至多穿越一次"的前提：
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% 若 rho_g 超过引导线的最小曲率半径，折线可在支撑域内盘绕，支撑域内弧长将超出弦长，
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% 此时 \eqref{eq:sup_bound_guide} 不再是上界。本文对 rho_g 的取值即按此约束选定。
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\subsection{Counting Bound of the Boundary Field}
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% 场地边界顶点由感知模块直接给出、相邻间距不均匀且不具备明确弧长语义，故取线元权重恒为 1，
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% 即以顶点计数的形式累积边界排斥作用。核的支撑域为直径 2 rho_e 的圆，故边界局部近似为直线时，
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% 落入其中的顶点数约为 2 rho_e / bar_ell_e，计入端点得
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\begin{equation}
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0 \le U_\text{e} \le
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\alpha_\text{e} \left( \frac{2\rho_\text{e}}{\bar\ell_\text{e}} + 1 \right)
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\triangleq U_\text{e}^\text{max} ,
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\label{eq:sup_bound_edge}
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\end{equation}
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% 即正文 \eqref{eq:bound_edge}。该式取核函数在支撑域内的最大值 1 作为每个顶点的贡献，
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% 因而在计数正确的前提下是上界。
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% 但计数本身只是估计。在凹形拐角处，两侧边界同时进入支撑域，
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% 落入的顶点数可高于 2 rho_e / bar_ell_e，故 \eqref{eq:sup_bound_edge} 严格意义上并非全局上界。
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% 若需严格上界，可按场地边界的最小内角 theta_e^min 将顶点计数放大 ceil(2 pi / theta_e^min) 倍
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% 得到最坏情形；代价是该上界在绝大多数栅格上过分保守，用于归一化会压缩场值的有效动态范围。
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% 正文因此取 \eqref{eq:sup_bound_edge} 的估计形式用于归一化标定，因该处所需的是场值的典型量级，
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% 并在栅格场构建后对归一化结果施加截断 min{hat_U, 1} 使值域严格化（见正文归一化处的说明）。
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% 这一取舍不影响支配条件所要保证的性质：该条件本身留有裕度，
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% 且凹角处边界场的局部增大只会强化边界排斥作用，与该条件的意图同向。
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\subsection{Dimensional Mismatch and Recalibration}
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% 引导线场的上界仅由 alpha_g、rho_g 与 m_g 决定，与采样密度无关；
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% 而边界场的上界与顶点密度成反比地依赖于平均顶点间距。这一差异要求在更换感知配置
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% 或边界提取分辨率时对 alpha_e 作相应标定；若将边界顶点同样赋以等效弧长权重，
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% 边界场的上界即可化为与引导线场一致的形式。
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\subsection{Choice of Linear Superposition}
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% 叠加方式采用线性组合而非取极值或乘性组合，主要出于场的光滑性考虑：
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% 核函数在支撑域内为 C^{m-1} 连续，线性组合保持该光滑性。两种替代方式各自破坏光滑性：
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% 取极值 max{U_e, U_p, U_x} 会在各分场取值相等的等值面上引入梯度不连续的折痕，
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% 该折痕位置随场地几何而变、无法预先规避，且恰可能落在通道中部即路径的必经之处；
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% 乘性组合则会在任一分场取零时抹去其余分场的信息——由有限支撑性，
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% 支撑域之外分场恒为零，故乘性组合在大部分工作空间中恒为零、方向先验完全失效。
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% 光滑性对本文是必要的：引导场不仅用于搜索代价，还参与联合优化阶段的连续优化，
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% 后者要求代价项具备良好的数值可微性。
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% 此外，连续意义下的这一光滑性还须由场的离散化表示予以保持，
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% 这正是采用三次 B 样条而非双线性插值查询栅格场的原因，见 Section \ref{sup:spline}。
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\section{Continuous Representation of the Discretized Field}
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\label{sup:spline}
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% 【来源：正文 III-C，原 main.tex 560--563】
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% 正文只保留结论："以张量积三次 B 样条查询预计算栅格场，核函数衰减阶数取 m >= 3。"
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% 最直接的双线性插值虽已避免最近邻查询的阶跃不连续，但其仅为 C^0 连续：
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% 一阶导数在栅格单元的公共边上跳变，而单元内部虽有非零的混合二阶导数、
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% 二阶纯偏导却恒为零。以其表达的场代价项因此不满足联合优化所要求的二阶连续可微性。
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% 本文因此以张量积三次 B 样条作为场的连续化表示：由栅格场值经预滤波（prefiltering）解出样条系数，
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% 该步骤与场的构建一并在离线阶段完成；在线查询时场值及其一阶、二阶导数均由样条基函数解析给出，
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% 单次查询在二维情形下涉及 4x4 个系数，仍为常数时间。
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% 相应地，核函数的衰减阶数须取 m_e、m_g >= 3，使连续意义下的场本身即为 C^2；
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% 否则样条虽在形式上给出连续二阶导数，其所逼近的对象在截断半径处并不具备该光滑性。
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% 该取值与交互核所要求的 m_Psi >= 3 同源。
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% 还需说明两阶段为何统一采用同一表示。搜索阶段仅以场的函数值参与评价、并不求导，
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% 故该阶段本可采用更廉价的双线性查询。两阶段统一采用样条表示，是为避免搜索与优化
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% 所依据的代价在数值上不一致——若两阶段查询同一栅格场却得到不同的插值值，
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% 粗解相对优化阶段目标函数的"良好初值"性质便失去严格依据。
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% TODO: 若篇幅允许，补一张双线性与三次 B 样条在同一栅格上的一阶导数对比图，
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% 直观展示前者在单元边界处的跳变。
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\section{Rationale for Joint Rather Than Alternating Optimization}
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\label{sup:joint_vs_alternating}
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% 【来源：正文 V-C，原 main.tex 888--896】
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% 正文只保留一句结论 + 指向本节。
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% 相比交替优化（固定一条、优化另一条，逐次迭代至收敛），联立求解有三点实质优势。
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% 其一，装载位共享位姿是一条真正的等式约束；交替方案中它在每个子问题内被固定为
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% 对向路径的当前值，等于将一条约束降格为轮流赋值，而联立形式下它被一次性精确满足。
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% 其二，交替优化的收敛性在本问题上难以给出有意义的保证：交互项与各子问题均非凸，
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% 块坐标下降的标准收敛结论所要求的块凸性或子问题唯一解在此都不成立，
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% 可断言的仅有目标单调不增且有下界这一较弱性质；而联立问题是一个标准 NLP，
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% 可直接沿用求解器的局部收敛性结论。
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% 其三，本文的非对称性由两处机制共同承担：交互项自带的时延权重 tau_d（决定排斥作用
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% 沿弧长施加在何处）与两条路径引导权重 w_U 的差异（决定各自让开多少）。
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% 二者均不依赖求解方式，在联立求解下同样成立，因此放弃交替更新并不损失
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% "非对称双通道"的设计取向。
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% 联立的代价是决策变量规模翻倍。但跨路径耦合仅存在于稀疏的交互项块
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% （正文已给出该块的规模量级），稀疏内点法求解器可充分利用这一结构；
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% 且双路径生成在车辆抵达装载场地前离线完成，其耗时相对采装作业周期可忽略。
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% 【待补】交替优化 vs 联立求解的实测对照（迭代数、墙钟时间、最终目标值、共享位姿的约束违反量），
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% 与正文实验章的基线 3 共用同一组数据。
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\section{Ellipsoid-Based Convex Corridor Construction}
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\label{sup:convex_decomp}
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% 【来源：正文原附录 B，main.tex 970--1008，整节迁入】
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% 正文只保留凸多面体的最终形式与"由局部边界点分布自适应确定半空间"这一性质。
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% 本节给出凸分解方法的详细数学推导。其目标是在离散障碍点集合约束下，
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% 围绕初始路径的每一段线段，求解一个包裹该线段的无碰撞凸多面体。
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% 将初始路径逐段处理并令相邻走廊保持重叠，即可得到覆盖整条路径的凸走廊序列。
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% 整个构造的几何直观见图 \ref{fig:sup_convex_decomp}。
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\subsection{Problem Setup and Notation}
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% 沿用正文约定，记 p = [x, y]^T 为工作空间中的几何点。设当前路径段的两个端点为 p_0、p_1，
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% 障碍点集合为 O = {o_i}，则目标是围绕线段
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% L = {(1-t) p_0 + t p_1 | t 属于 [0,1]}
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% 求一个无碰撞凸多面体 P = {p | A p <= b}。
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% 方法引入一个包裹线段 L 的辅助椭球 E 作为几何代理，其定义为
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\begin{equation}
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\mathcal{E} = \left\{ \mathbf{C}\mathbf{u} + \mathbf{d}
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\;\middle|\; \left\lVert \mathbf{u} \right\rVert \le 1 \right\} ,
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\label{eq:sup_ellipsoid_param}
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\end{equation}
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% 其中 C 属于 R^{2x2} 为形状矩阵，d 属于 R^2 为椭球中心，u 表示单位球中的点。
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% 椭球 E 的面积与 det(C) 成正比。
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\subsection{Collision-Free Ellipsoid Construction}
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% 以线段中点为椭球中心，取线段方向为椭球长轴，初始将椭球设为半径等于线段半长的球，
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% 再沿垂直于线段的短轴方向收缩，直到椭球边界恰好触及最近的障碍点，
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% 从而得到一个不含任何障碍点、且完整包裹线段的椭球，其二次型表达为
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\begin{equation}
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||
\mathcal{E} = \left\{ \mathbf{p} \;\middle|\;
|
||
(\mathbf{p} - \mathbf{d})^\top
|
||
\left( \mathbf{C}\mathbf{C}^\top \right)^{-1}
|
||
(\mathbf{p} - \mathbf{d}) \le 1 \right\} ,
|
||
\quad
|
||
\mathbf{o}_i \notin \mathrm{int}(\mathcal{E}) \ \ \forall i .
|
||
\label{eq:sup_ellipsoid_quadratic}
|
||
\end{equation}
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% 以线段中点 d = (p_0 + p_1)/2 为椭球中心。
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\subsection{Supporting Half-Space Generation}
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% 给定避障椭球，逐个为障碍点生成一个将其与线段分离的超平面。
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% 法向量取椭球边界上距该障碍点最近点处的外法线方向，即由椭球度量确定；
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% 偏置项使障碍点位于对应半空间边界上，而椭球（及其内部的线段）位于安全一侧。
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% 为避免冗余约束，每生成一个半空间即剔除被其排除的障碍点，
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% 仅对剩余障碍点继续生成超平面，直到所有障碍点均被分离。
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% 具体地，为障碍点 o_i 生成分离超平面 a_i^T p = b_i，其法向量由椭球度量确定：
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\begin{equation}
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||
\tilde{\mathbf{a}}_i
|
||
= \left( \mathbf{C}\mathbf{C}^\top \right)^{-1}
|
||
\left( \mathbf{o}_i - \mathbf{d} \right) ,
|
||
\qquad
|
||
\mathbf{a}_i = \frac{\tilde{\mathbf{a}}_i}
|
||
{\left\lVert \tilde{\mathbf{a}}_i \right\rVert} ,
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||
\label{eq:sup_halfspace_normal}
|
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\end{equation}
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% 即取椭球边界上距 o_i 最近点处的外法线方向；偏置项由 b_i = a_i^T o_i 给出，
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% 从而保证障碍点位于对应半空间边界上，而椭球（及其内部的线段）位于安全一侧。
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||
% 将保留的约束堆叠得 A = [a_1, ..., a_m]^T、b = [b_1, ..., b_m]^T，
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% 即得包裹线段的凸多面体 P。半空间的数量 m 与方向均由局部障碍点分布自适应确定，
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% 不需预设走廊形状。
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\subsection{Seed Extension and Corridor Overlap}
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% 【新增】生成走廊时将种子沿粗解折线向两端各延伸弧长 Delta_slide 后再作凸分解，
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% 使相邻走廊在一段有限弧长上重叠、而非仅交于一点，从而容纳配置点的纵向滑移。
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% TODO: 补 Delta_slide 取值、走廊半空间数 m_k 的实测分布、以及外循环触发率。
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\begin{figure}[htbp]
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\centering
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\includegraphics{fig_convex_decomp}
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\caption{Geometric intuition of the convex decomposition.
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(a) The initial sphere centered at the segment midpoint
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$\mathbf{d}$ is shrunk along the minor axis until the boundary
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of $\mathcal{E}$ first touches an obstacle point
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$\mathbf{o}_i$, giving a collision-free ellipsoid that fully
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encloses the segment $\mathbf{p}_0\mathbf{p}_1$.
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(b) Each retained obstacle (solid) generates one supporting
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||
half-space $\mathbf{a}_i^{\!\top}\mathbf{p}=b_i$ whose normal
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is set by the ellipsoid metric of
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\eqref{eq:sup_halfspace_normal}; obstacles already excluded by
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an emitted half-space are pruned as redundant (hollow), and the
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||
retained half-spaces clip the free space into the convex
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||
polytope $\mathcal{P}$.}
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||
\label{fig:sup_convex_decomp}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\subsection{Sufficiency and Safety Margin of the Discretized Constraint}
|
||
\label{sup:corner_cut}
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||
% 本节给出正文 \eqref{eq:corner_cut_margin} 所用走廊内缩余量的推导，并量化矿卡尺度下的实际切入量。
|
||
% 正文的顶点约束仅在配置点上成立：顶点落入凸多面体 P_k 是该配置点处整车无碰的充分条件，
|
||
% 但相邻两个配置点之间车体仍可切出走廊之外。以下证明该切入量存在一个仅依赖 Delta_s 与
|
||
% kappa_max 的解析上界，故可由走廊的一次性内缩完全覆盖。
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||
|
||
% 考察相邻配置点 k 与 k+1 之间的一段路径。由正文的曲率约束，该段的曲率满足
|
||
% |kappa| <= kappa_max = 1/R_min。在最坏情形下该段为定曲率圆弧、且取到曲率上界：
|
||
% 此时车辆绕瞬时转向中心（ICR）作纯滚动，车体为刚体，故其上任一点亦作圆周运动。
|
||
% 设车体坐标系下顶点 r 的坐标为 [a_r, b_r]^T，ICR 位于后轴延长线上距后轴中心 R_min 处，
|
||
% 即车体坐标 [0, R_min]^T，则该顶点到 ICR 的距离为
|
||
\begin{equation}
|
||
\rho_\text{c}^{(r)} = \left\lVert
|
||
\begin{bmatrix} a_r \\ b_r \end{bmatrix}
|
||
- \begin{bmatrix} 0 \\ R_\text{min} \end{bmatrix}
|
||
\right\rVert .
|
||
\label{eq:sup_rho_c}
|
||
\end{equation}
|
||
% 该段上后轴中心转过的航向增量为 Delta_theta = Delta_s * kappa_max，而刚体上所有点转过
|
||
% 相同的角度 Delta_theta（绕同一 ICR），故顶点 r 走过一段半径 rho_c^(r)、圆心角 Delta_theta 的圆弧。
|
||
% 该圆弧偏离其弦的最大距离即弓形的矢高（sagitta），在弧中点处取到：
|
||
\begin{equation}
|
||
\Delta_\text{cut}^{(r)}
|
||
= \rho_\text{c}^{(r)} \left[ 1 - \cos\!\left( \frac{\Delta\theta}{2} \right) \right]
|
||
= \rho_\text{c}^{(r)} \left[ 1 - \cos\!\left( \frac{\Delta s\, \kappa_\text{max}}{2} \right) \right] .
|
||
\label{eq:sup_sagitta}
|
||
\end{equation}
|
||
% 取四个顶点中最大者，即得正文 \eqref{eq:corner_cut_margin} 的 Delta_cut。
|
||
% 该值是上界而非估计：它同时取到了曲率上界与弧中点位置，且顶点集合已取遍。
|
||
% 因此，若在生成 P_k 时将其每个半空间沿内法向平移 Delta_cut（即 b_k <- b_k - Delta_cut * 1），
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||
% 则配置点处满足内缩后走廊的约束蕴含整段弧上车体不越出原走廊。
|
||
|
||
% 需要指出 \eqref{eq:sup_sagitta} 中的两处保守性，二者方向相反但量级都很小。
|
||
% 其一，Delta_theta 按 kappa_max 计，而实际路径在大部分弧长上曲率远小于上界，
|
||
% 故实际切入量通常显著小于 Delta_cut。其二，rho_c^(r) 按 R_min 处的 ICR 计，
|
||
% 而曲率较小时 ICR 更远、顶点圆弧半径更大；但矢高中的余弦项随曲率下降得更快
|
||
% （Delta_theta 正比于 kappa），二者相乘后仍随曲率单调下降，故以 kappa_max 取上界是正确的。
|
||
|
||
% 表 \ref{tab:sup_corner_cut} 给出矿卡尺度下的实算结果。取 R_min = 12 m、L_v = 12 m、B_v = 3 m，
|
||
% 并设后轴中心距车体后端 1.5 m（即后悬 1.5 m，故前端在车体坐标 a = 10.5 m 处）。
|
||
% 车辆左转时 ICR 位于车体坐标 [0, R_min]^T，四个顶点到 ICR 的距离分别为
|
||
% 17.10 m（右前）、14.85 m（左前）、13.58 m（右后）、10.61 m（左后），
|
||
% 故最远顶点为转弯外侧的前保险杠角点，rho_c = 17.10 m。
|
||
\begin{table}[htbp]
|
||
\centering
|
||
\caption{Maximum corner-cutting deviation between adjacent collocation
|
||
points, evaluated at $R_\text{min}=12$\,m, $L_\text{v}=12$\,m,
|
||
$B_\text{v}=3$\,m and a rear overhang of $1.5$\,m
|
||
(farthest corner at $\rho_\text{c}=17.10$\,m).}
|
||
\label{tab:sup_corner_cut}
|
||
\begin{tabular}{@{}cc@{}}
|
||
\toprule
|
||
Collocation step $\Delta s$ (m) & $\Delta_\text{cut}$ (cm) \\
|
||
\midrule
|
||
0.5 & 0.37 \\
|
||
1.0 & 1.48 \\
|
||
1.5 & 3.34 \\
|
||
2.0 & 5.93 \\
|
||
3.0 & 13.34 \\
|
||
\bottomrule
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
% 两点结论。其一，在 Delta_s <= 1.5 m 时切入量不超过 3.4 cm，远小于矿区常用的车体安全间隔，
|
||
% 故一次性内缩不会实质压缩可行域，也无须在配置点之间追加中点约束——后者会使约束数近似加倍，
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% 而所换取的余量收益不足 4 cm。其二，Delta_cut 随 Delta_s 近似二次增长
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% （小角度下 1 - cos(x/2) ≈ x^2/8），Delta_s = 3 m 时已达 13 cm 量级、接近安全余量本身，
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% 因此 \eqref{eq:sup_sagitta} 亦为配置步长提供了上界依据：本文取 Delta_s 不超过 1.5 m。
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% TODO: 待实车数据到位后，在此补一行实测车体轮廓到边界的最小间隙，与 Delta_cut 对照。
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\section{Second-Difference Discretization of Curvature Constraints}
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\label{sup:curvature}
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% 本节给出正文虚拟中线平滑问题中二阶差分与曲率之间换算关系的推导，即
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% \lVert d_i \rVert ≈ ell^2 kappa_i，并给出该近似的误差量级。
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\subsection{Taylor-Series Derivation}
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% 设中线经等弧长重采样后，相邻点的弧长间距为 $\ell$，并将其视为对某条以弧长为参数的光滑曲线 $\mathbf{r}(s)$ 的采样，即 $\mathbf{q}_{i} = \mathbf{r}(s_i)$、$\mathbf{q}_{i \pm 1} = \mathbf{r}(s_i \pm \ell)$。在 $s_i$ 处对前后两个采样点作泰勒展开：
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\begin{subequations} \label{eq:sup_taylor}
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\begin{align}
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\mathbf{q}_{i+1} & = \mathbf{r} + \ell\, \mathbf{r}'
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+ \frac{\ell^2}{2} \mathbf{r}''
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+ \frac{\ell^3}{6} \mathbf{r}''' + O(\ell^4) \\
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\mathbf{q}_{i-1} & = \mathbf{r} - \ell\, \mathbf{r}'
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+ \frac{\ell^2}{2} \mathbf{r}''
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- \frac{\ell^3}{6} \mathbf{r}''' + O(\ell^4)
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\end{align}
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\end{subequations}
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% 其中 $\mathbf{r}$ 及其各阶导数均在 $s_i$ 处取值。两式相加时，奇数阶项因中心对称而相互抵消，故 $\mathbf{d}_i = \mathbf{q}_{i-1} - 2\mathbf{q}_i + \mathbf{q}_{i+1} = \ell^2\, \mathbf{r}''(s_i) + O(\ell^4)$。由于曲线以弧长为参数，其一阶导数即为单位切向量 $\mathbf{r}' = \mathbf{T}$，由 Frenet 公式\cite{docarmo2016curves}有 $\mathbf{r}'' = \mathrm{d}\mathbf{T}/\mathrm{d}s = \kappa\, \mathbf{N}$，其中 $\mathbf{N}$ 为单位法向量。由 $\lVert \mathbf{N} \rVert = 1$ 知 $\lVert \mathbf{r}'' \rVert = \kappa$，代入即得
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\begin{equation}
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\left\lVert \mathbf{d}_i \right\rVert = \ell^2 \kappa_i + O(\ell^4)
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\label{eq:sup_curvature_relation}
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\end{equation}
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\subsection{Approximation Error and Discretization Choice}
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% 为定量评估 \eqref{eq:sup_curvature_relation} 的近似精度，考察三个采样点恰好落在半径 $R = 1/\kappa$ 圆周上的情形，此时可得到闭式结果。设相邻点对应的圆心角间隔为 $\theta$，将圆心置于原点，则三点可表示为 $\mathbf{q}_{i} = R[1, 0]^\top$、$\mathbf{q}_{i \pm 1} = R[\cos\theta, \pm\sin\theta]^\top$，代入二阶差分得精确表达式 $\lVert \mathbf{d}_i \rVert = 2R(1 - \cos\theta) = 4R \sin^2(\theta/2)$。将弧长关系 $\theta = \ell / R = \ell\, \kappa$ 代入并对 $\sin(\cdot)$ 作级数展开，可得
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\begin{equation}
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\left\lVert \mathbf{d}_i \right\rVert
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= \ell^2 \kappa \left( 1 - \frac{\ell^2 \kappa^2}{12}
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+ O\!\left( \ell^4 \kappa^4 \right) \right)
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\label{eq:sup_curvature_error}
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\end{equation}
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% 即 \eqref{eq:sup_curvature_relation} 的相对误差约为 $\frac{1}{12}( \ell / R )^2$，随采样间距与曲率半径之比的平方衰减。以本文所针对的矿用运输车辆为例，其最小转弯半径 $R_\text{min}$ 约为 12 m，而中线重采样间距取 $\ell = 1$~m，此时相对误差约为 $0.06\%$；即使取 $\ell = 3$~m，误差亦不超过 $0.5\%$，对约束的实际影响可以忽略。此外，由 \eqref{eq:sup_curvature_error} 可见近似值 $\ell^2 \kappa$ 略大于真实的 $\lVert \mathbf{d}_i \rVert$，因此以 $\lVert \mathbf{d}_i \rVert \le \ell_i^2 \kappa_\text{max}$ 作为约束时实际允许的曲率略小于 $\kappa_\text{max}$，即该离散化在安全性上偏保守。
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% 离散曲率还可由三点外接圆法或航向角差分法估计。前者含有路径点范数的乘积作为分母，后者含有反三角函数；将它们直接写成曲率上界约束会引入非二次的非线性结构。相比之下，本文采用的二阶差分 $\mathbf{d}_i=\mathbf{q}_{i-1}-2\mathbf{q}_i+\mathbf{q}_{i+1}$ 是路径点的线性函数，因而 $\|\mathbf{d}_i\|^2$ 给出凸二次约束，并保持与目标函数相同的稀疏结构。平方形式还避免了 $\|\mathbf{d}_i\|$ 在零点的不可微性。故本文接受 \eqref{eq:sup_curvature_error} 所示的离散误差，以换取更简单、稳定的优化结构。
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\section{Implementation Details and Additional Results}
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\label{sup:implementation}
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\subsection{Full Parameter Settings}
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% TODO: 汇总全部参数取值（核参数 alpha/rho/m、场分辨率 delta、状态格分辨率、
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% 基准步长 mu_0、调制区间、权重 w_U/w_Psi/w_kappa、Delta_slide、Ipopt 收敛容差等），
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% 并注明各参数的标定方式（解析条件 / 实验标定 / 沿用文献）。
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\begin{table}[htbp]
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\centering
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\caption{Complete Parameter Settings}
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\label{tab:sup_params}
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\footnotesize
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\begin{tabular}{@{}llcl@{}}
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\toprule
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Symbol & Description & Value & Source \\
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\midrule
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% TODO: 填表
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\bottomrule
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\end{tabular}
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\end{table}
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\subsection{Nearest-Neighbor Query for the Interaction Term}
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% 【新增，对应审阅意见】交互项的非零元数为 O(rho_Psi / Delta_s)，但朴素实现仍需
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% M_park x M_exit 次距离计算才能找出近邻点对。
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% TODO: 说明所采用的空间索引结构（KD 树 / 均匀网格哈希）、其重建频次，
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% 以及每次迭代中该步骤的实测耗时占比。
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\subsection{Additional Ablation Results}
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% TODO: 正文因篇幅只保留主要消融项，此处收录完整消融表
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% （逐项去除 J_U / J_Psi / 时序权重 / 自适应步长 / 场增强启发的对照）。
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\subsection{Failure Cases}
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% TODO: 收录求解失败或退化的算例（极端装载位、通道宽度不足以容纳双通道时的行为），
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% 并说明方法的适用边界。审稿人通常会追问这一点，主动给出比被问到更好。
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% TODO(投稿前): 正文取消注释、产生有效 \cite 后删除下面这行 \nocite{*}。
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% 当前草稿阶段本材料正文均为注释、无任何生效的 \cite，故必须保留此行，否则 thebibliography 为空而编译报错。
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\nocite{*}
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\bibliographystyle{IEEEtran}
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\bibliography{refs}
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\end{document}
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